1. 拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式展開(kāi)式
拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開(kāi)式與原式之間的一個(gè)誤差值，如果其值為無(wú)窮小，則表明公式展開(kāi)足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；
2. 拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)公式
拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：f'（x）=n+1。泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)。
函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。
3. 泰勒公式拉格朗日余項(xiàng)公式推導(dǎo)
拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開(kāi)式與原式之間的一個(gè)誤差值，如果其值為無(wú)窮小，則表明公式展開(kāi)足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；同時(shí)： 進(jìn)而： 綜上可得：
4. 帶泰勒余項(xiàng)的拉格朗日公式展開(kāi)求極限
f(x)=x^(1/2) f(4)=2 f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4f''(x)=-1/2^
2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)∴函數(shù)f（x）＝√x按（x－4）的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階泰勒公式:√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4
5. 含有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式
線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1
其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。
線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn)，有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線，最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。
6. 帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式
簡(jiǎn)單說(shuō) 皮亞諾余項(xiàng)用在求極限地題目中比較多 比如說(shuō)你把一個(gè)函數(shù)寫(xiě)成皮亞諾形式 展開(kāi)到n階導(dǎo)數(shù)再加上個(gè)高階無(wú)窮小的話,前提條件并不要求函數(shù)具有n+1階導(dǎo)數(shù).拉格朗日感覺(jué)一般是用在證明題中,由于余項(xiàng)是用拉格朗日中值定理求出來(lái)的,所以展開(kāi)到n階的話,一定要求函數(shù)具有n+1階導(dǎo)數(shù).